Die wichtigen Informationen aus der Angabe sind:

• $ff$ ist eine quadratische Funktion, hat also Grad $22$

• $ff$ hat mindestens eine Nullstelle

• $55$ ist eine Nullstelle, also $f(5)=0f(5)=0$

Jetzt kann systematisch vorgegangen werden:

Überprüfung der Grade

Die Funktion $f_1(x)=7\cdot (x-5)\cdot (x-8)\cdot (x-8)f\_1(x)=7\backslash cdot(x-5)\backslash cdot(x-8)\backslash cdot(x-8)$ hat Grad $33$, kommt also nicht in Frage.Die restlichen Funktionen haben Grad $22$, weil beim Ausmultiplizieren die höchste vorkommende Potenz $22$ ist.

Überprüfung der Nullstelle

Wie du erkennen kannst, sind alle Antwortmöglichkeiten in der Nullstellenform. Also kannst du die Nullstellen der Funktionen aus ihren Termen ablesen.

Funktion: $f_2(x)=27\cdot (x+18)\cdot (x-9)f\_2(x)=27\backslash cdot(x+18)\backslash cdot(x-9)$

Die Nullstellen dieser Funktion sind $-18-18$ und $99$. Da $55$ keine Nullstelle ist, erfüllt $f_{1}f\_1$ die Voraussetzungen nicht.

Funktion: $f_3(x)=34\cdot (x+5)\cdot (x+66)f\_3(x)=34\backslash cdot(x+5)\backslash cdot(x+66)$

Die Nullstellen dieser Funktion sind $-5-5$ und $-66-66$. Hier ist es wichtig auf die Vorzeichen in Klammern zu achten.

Diese Funktion erfüllt also die Voraussetzungen auch nicht.

Funktion: $f_4(x)=42\cdot (x-5{)}^{2}f\_4(x)=42\backslash cdot(x-5)^2$

Hier gibt es die doppelte Nullstelle bei $55$, also ist $f_{4}f\_4$ eine Lösung.

Funktion: $f_5(x)=3\cdot (x-3)\cdot (x-5)f\_5(x)=3\backslash cdot(x-3)\backslash cdot(x-5)$

Diese Funktion hat ihre Nullstellen bei $33$ und $55$ und daher ist auch $f_{5}f\_5$ eine Lösung.

Zusammenfassung

Die beiden richtigen Antworten sind $f_4(x)=42\cdot (x-5{)}^{2}f\_4(x)=42\backslash cdot(x-5)^2$ und $f_5(x)=3\cdot (x-3)\cdot (x-5)f\_5(x)=3\backslash cdot(x-3)\backslash cdot(x-5)$.